Kako se setiti trigonometrijske tablice? Ovaj članak će vam objasniti kako da se setite da lako pronađete trigonometrijske brojeve osnovnih uglova. Napravite tabelu. U prvom redu napišite trigonometrijske funkcije: sin, cos, tg, ctg. U prvoj koloni napišite uglove: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. sin = cos = tg = ctg = cos (90 - ) sin (90 - ) ctg (90 - ) tg (90 - ) Trigonometriski funkcii od suplementni agli. sin = cos = tg = ctg = sin (180 - ) - cos (180 - ) - tg (180 - ) - ctg (180 - ) sin 2 cos2 1. tg ctg = 1 - sin cos - tg - ctg . Presmetuvawe na ostanatite trigonometriski funkcii ako e poznata vrednosta na edna od niv. cos 1 sin 2 Trigonometric ratios are important module in Maths. Here in this post, I will provide Trigonometric table from 0 to 360 (cos -sin-cot-tan-sec-cosec) and also the easy and simple way to remember it. Mentor note: Moved thread to homework section ok So I'm doing supposedly easy trigonometry problems. i did the easiest ones. now I have no idea how to solve 2. first one is count sin+cos When tg - (1/tg) = -(7/12) what i figured is that i probably need to use (sin/cos) - (cos/sin) = -7/12 but i came empty after 30 minutes of playing with both Seno, Coseno y Tangente (a menudo abreviadas como sen -o sin, del inglés sine-, cos y tan) son cada una una proporción de los lados de un triángulo rectángulo: Para un ángulo dado θ cada proporción permanece igual no importa cuán grande o pequeño sea el triángulo. Para calcularlas: Materiał ze strony http://matematyka.pisz.pl/strona/451.htmlZnaki sin, cos, tg, ctg w ćwiartkach układu współrzędnych. Znaki funkcji trygonometrycznych. u4QZP. Oceń kalkulator trygonometryczny: (7 votes, average: 2,29 out of 5)Obliczanie funkcji trygonometrycznych – jak działa? Powyższy kalkulator funkcji trygonometrycznych oblicza wartości tg, ctg, sin oraz cos dla podanego kąta wyrażonego w radianach. Jedynym polem, które należy wpisać do kalkulatora jest wartość kąta, dla której użytkownik chce przeprowadzić stosowne obliczenia. Po wciśnięciu przycisku OBLICZ zostaną wyświetlone wartości dla tangensa, cotangensa, sinusa oraz cosinusa danego kąta. Ten kalkulator należy do kategorii matematyka. Możesz wrócić do strony kategorii lub też skorzystać z wyszukiwarki kalkulatorów, która znajduje się na stronie głównej. Jedynka trygonometryczna Dla dowolnego kąta \(\alpha \) zachodzi równanie: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\] Dowód jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt ostry \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\] Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że: \[a^2+b^2=c^2\] Zatem: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}=1. \ _\blacksquare \] Wyjaśnienie sposobu zapisu Wyrażenie \(\sin^{2} \alpha\), to \(\sin \alpha \) podniesiony do drugiej potęgi. Czyli: \[\sin^{2} \alpha = (\sin \alpha)^2\] Zatem np. \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\), to: \(\sin^{2} \alpha = \left ( \frac{2}{3} \right )^2=\frac{4}{9}\). Analogicznie interpretujemy \(\cos^{2} \alpha, \operatorname{tg}^2 \alpha \text{ i }\operatorname{ctg}^2\alpha \) oraz wyższe potęgi funkcji trygonometrycznych. Wzory na tangens i cotangens. Dla dowolnego kąta \(\alpha \) (dla którego funkcje trygonometryczne są określone) zachodzą wzory: \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =1\) \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\) \(\operatorname{ctg} \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\) Powyższe wzory są prawdziwe dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) oraz dla wszystkich kątów, dla których funkcje są określone (tzn. nie pojawia się dzielenie przez \(0\) w mianowniku). Dowód wzorów dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym Weźmy dowolny trójkąt prostokątny i zaznaczmy w nim kąt \(\alpha \). Z definicji funkcji trygonometrycznych wiemy, że: \[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{oraz}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\qquad \text{oraz}\qquad\operatorname{tg} \alpha =\frac{a}{b}\qquad \text{oraz}\qquad \operatorname{ctg} \alpha =\frac{b}{a}\] Zatem: \[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1\] oraz: \[\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg} \alpha \] a także: \[\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\operatorname{ctg} \alpha. \ _\blacksquare\] Gdy znamy wartość przynajmniej jednej funkcji trygonometrycznej, to za pomocą powyższych wzorów możemy obliczyć wartości wszystkich pozostałych funkcji trygonometrycznych. Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\left ( \frac{1}{3} \right )^2 &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\frac{1}{9} &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha &= \frac{8}{9}\\[10pt]\sin \alpha &=\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\] Oblicz \(\cos \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\). Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\left ( \frac{2}{5} \right )^2+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\frac{4}{25}+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\cos^{2} \alpha &= \frac{21}{25}\\[10pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5} \end{split}\] Teraz obliczamy tangens: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\] Teraz obliczamy cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\] Oblicz \(\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ i }\operatorname{ctg} \alpha \) jeśli wiesz, że \(\operatorname{tg} \alpha =7\). Najłatwiej jest wyliczyć cotangens: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{7}\] Teraz skorzystamy ze wzoru na tangens oraz jedynki trygonometrycznej i ułożymy układ równań z dwiema niewiadomymi. Tymi niewiadomymi będą oczywiście szukane \(\sin \alpha \text{ i }\cos \alpha \). \[\begin{split} &\begin{cases}\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \\[10pt]&\begin{cases}7 =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \end{split}\] Z pierwszego równania możemy wyliczyć np. \(\sin \alpha \): \[\begin{split} 7 &=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\[6pt]7\cos \alpha &=\sin \alpha \\[6pt]\sin \alpha &=7\cos \alpha \end{split}\] Teraz wyznaczonego sinusa możemy podstawić do jedynki trygonometrycznej. W rezultacie otrzymamy równanie z jedną niewiadomą ( \(\cos \alpha \) ): \[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt](7\cos \alpha )^2 +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]49 \cos^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]50 \cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]\cos^{2} \alpha &=\frac{1}{50}\\[6pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{10} \end{split}\] Teraz wyliczymy sinus korzystając z wyznaczonego wcześniej wzoru: \[\sin \alpha =7\cos \alpha =7\cdot \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\] Tablice z wartościami funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych znajdują się pod tym linkiem. Jedynka trygonometryczne \[\sin^2{\alpha }+\cos^2{\alpha }=1\] Wzory na tangens i cotangens \[\begin{split}&\text{tg}{\alpha }=\frac{\sin{\alpha }}{\cos{\alpha}}\\\\\\\\&\text{ctg}{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\\\\\\\\&\text{tg}{\alpha}\cdot \text{ctg}{\alpha=1}\\\\\end{split}\] Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta \[\begin{split}&\\&\sin{2\alpha }=2\sin{\alpha }\cos{\alpha }=\frac{2\ \text{tg}{\alpha }}{1 +\text{tg}^2{\alpha }}\\\\\\\\&\cos{2\alpha }=\cos{^2\alpha }-\sin{^2\alpha}=2\cos^2\alpha-1\\\\\\\\&\text{tg}{2\alpha }=\frac{2\ \text{tg}{\alpha }}{1-\text{tg}^2{\alpha }}=\frac{2}{\text{ctg}{\alpha }-\text{tg}{\alpha }}\\\\\\\\&\text{ctg}{2\alpha }=\frac{\text{ctg}^2{\alpha }-1}{2\ \text{ctg}{\alpha }}=\frac{\text{ctg}{\alpha }-\text{tg}{\alpha }}{2}\\\\\end{split}\] Funkcje trygonometryczne potrojonego kąta \[\begin{split}&\\&\sin{3\alpha }=-4\sin^3{\alpha }+3\sin{\alpha }\\\\\\\\&\cos{3\alpha }=4 \cos^3{\alpha }-3\cos{\alpha }\\\\\\\\&\text{tg}{3\alpha }=\frac{3\ \text{tg}{\alpha }-\text{tg}^3{\alpha }}{1-3\ \text{tg}^2{\alpha }}\\\\\\\\&\text{ctg}{3\alpha }=\frac{\text{ctg}^3{\alpha }-3\ \text{ctg}{\alpha }}{3\ \text{ctg}^2{\alpha }-1}\\\\\end{split}\] Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów \[\begin{split}&\\&\sin{\left ( \alpha +\beta \right )}=\sin{\alpha }\cos{\beta }+\sin{\beta }\cos{\alpha }\\\\\\\\&\sin{\left ( \alpha -\beta \right )}=\sin{\alpha }\cos{\beta }-\sin{\beta }\cos{\alpha }\\\\\\\\&\cos{\left ( \alpha +\beta \right )}=\cos{\alpha }\cos{\beta }-\sin{\alpha }\sin{\beta }\\\\\\\\&\cos{\left ( \alpha -\beta \right )}=\cos{\alpha }\cos{\beta }+\sin{\alpha }\sin{\beta }\\\\\\\\&\text{tg}{\left ( \alpha +\beta \right )}=\frac{\text{tg}{\alpha }+\text{tg}{\beta }}{1-\text{tg}{\alpha }\ \text{tg}{\beta }}\\\\\\\\&\text{tg}{\left ( \alpha -\beta \right )}=\frac{\text{tg}{\alpha }-\text{tg}{\beta }}{1+\text{tg}{\alpha }\ \text{tg}{\beta }}\\\\\\\\&\text{ctg}{\left ( \alpha +\beta \right )}=\frac{\text{ctg}{\alpha }\ \text{ctg}{\beta }-1}{\text{ctg}{\beta }+\text{ctg}{\alpha }}\\\\\\\\&\text{ctg}{\left ( \alpha -\beta \right )}=\frac{\text{ctg}{\alpha }\ \text{ctg}{\beta }+1}{\text{ctg}{\beta }-\text{ctg}{\alpha }}\\\\\end{split}\] Wzory redukcyjne \[\begin{split}&\sin{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=-\text{ctg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 90^\circ +\alpha \right )}=-\text{tg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\text{ctg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 90^\circ -\alpha \right )}=\text{tg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=\text{tg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 180^\circ +\alpha \right )}=\text{ctg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=-\text{tg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 180^\circ -\alpha \right )}=-\text{ctg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\text{ctg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 270^\circ +\alpha \right )}=-\text{tg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\cos{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\text{ctg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 270^\circ -\alpha \right )}=\text{tg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\sin{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\text{tg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 360^\circ +\alpha \right )}=\text{ctg}{\alpha }\end{split}\] \[\begin{split}&\sin{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\sin{\alpha }\\\\&\cos{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=\cos{\alpha }\\\\&\text{tg}{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\text{tg}{\alpha }\\\\&\text{ctg}{\left ( 360^\circ -\alpha \right )}=-\text{ctg}{\alpha }\end{split}\] Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych \[\begin{split}&\\&\sin{\alpha }+\sin{\beta }=2\sin{\frac{\alpha +\beta }{2}}\cos{\frac{\alpha -\beta }{2}}\\\\\\\\&\sin{\alpha }-\sin{\beta }=2\cos{\frac{\alpha +\beta }{2}}\sin{\frac{\alpha -\beta }{2}}\\\\\\\\&\cos{\alpha }+\cos{\beta }=2\cos{\frac{\alpha +\beta }{2}}\cos{\frac{\alpha -\beta }{2}}\\\\\\\\&\cos{\alpha }-\cos{\beta }=-2\sin{\frac{\alpha +\beta }{2}}\sin{\frac{\alpha -\beta }{2}}\\\\\\\\&\text{tg}{\alpha }+\text{tg}{\beta }=\frac{\sin{\left ( \alpha +\beta \right )}}{\cos{\alpha }\cos{\beta }}\\\\\\\\&\text{tg}{\alpha }-\text{tg}{\beta }=\frac{\sin{\left ( \alpha -\beta \right )}}{\cos{\alpha }\cos{\beta }}\\\\\\\\&\text{ctg}{\alpha }+\text{ctg}{\beta }=\frac{\sin{\left ( \beta +\alpha \right )}}{\sin{\alpha }\sin{\beta }}\\\\\\\\&\text{ctg}{\alpha }-\text{ctg}{\beta }=\frac{\sin{\left ( \beta -\alpha \right )}}{\sin{\alpha }\sin{\beta }}\\\\\\\\&\cos{\alpha }+\sin{\alpha }=\sqrt{2}\sin{\left ( 45^\circ +\alpha \right )}=\sqrt{2}\cos{\left ( 45^\circ -\alpha \right )}\\\\\\\\&\cos{\alpha }-\sin{\alpha }=\sqrt{2}\cos{\left ( 45^\circ +\alpha \right )}=\sqrt{2}\sin{\left ( 45^\circ -\alpha \right )}\\\\\end{split}\] Sumy i różnice jedności z funkcjami trygonometrycznymi \[\begin{split}&\\&1+\sin{\alpha }=2\sin^2{\left ( 45^\circ +\frac{\alpha }{2} \right )}=2\cos^2{\left ( 45^\circ -\frac{\alpha }{2} \right )}\\\\\\\\&1-\sin{\alpha }=2\sin^2{\left ( 45^\circ -\frac{\alpha }{2} \right )}=2\cos^2{\left ( 45^\circ +\frac{\alpha }{2} \right )}\\\\\\\\&1+\cos{\alpha }=2\cos^2{\frac{\alpha }{2}}\\\\\\\\&1-\cos{\alpha }=2\sin^2{\frac{\alpha }{2}}\\\\\\\\&1+\text{tg}^2{\alpha }=\frac{1}{\cos^2{\alpha }}\\\\\\\\&1+\text{ctg}^2{\alpha }=\frac{1}{\sin^2{\alpha }}\\\\\\\\\end{split}\] Różnice kwadratów funkcji trygonometrycznych \[\begin{split}&\\&\sin^2{\alpha }-\sin^2{\beta }=\cos^2{\beta }-\cos^2{\alpha }=\sin{\left ( \alpha +\beta \right )}\sin{\left ( \alpha -\beta \right )}\\\\\\\\&\cos^2{\alpha }-\sin^2{\beta }=\cos^2{\beta }-\sin^2{\alpha }=\cos{\left ( \alpha +\beta \right )}\cos{\left ( \alpha -\beta \right )}\\\\\end{split}\] Iloczyny funkcji trygonometrycznych \[\begin{split}&\\&\sin{\alpha }\sin{\beta }=\frac{1}{2}\left [ \cos{\left ( \alpha -\beta \right )-\cos{\left ( \alpha +\beta \right )}} \right ]\\\\\\&\cos{\alpha }\cos{\beta }=\frac{1}{2}\left [ \cos{\left ( \alpha -\beta \right )+\cos{\left ( \alpha +\beta \right )}} \right ]\\\\\\&\sin{\alpha }\cos{\beta }=\frac{1}{2}\left [ \sin{\left ( \alpha -\beta \right )+\sin{\left ( \alpha +\beta \right )}} \right ]\\\\\\\end{split}\]

tablica trygonometryczna sin cos tg ctg